Spis treści:
- Zagadka z wykrzyknikiem. Jak rozwiązać to zadanie?
- Rozwiązanie zagadki. To prostsze niż myślisz
- Gdzie wykorzystuje się silnię?
Zagadka z wykrzyknikiem. Jak rozwiązać to zadanie?
Zagadka, w której pojawia się silnia zapowiada działania na dużych liczbach. Przypomnijmy, że wykrzyknik (!) zapowiada mnożenie danej liczby n przez n-1 aż dojdziemy do najmniejszej całkowitej liczby dodatniej - 1. Przykładowo 9! to nic innego jak działanie 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1.
Jak łatwo zauważyć, wynik rośnie w zastraszającym tempie, jednak w dzisiejszej zagadce wcale nie trzeba uciekać się do kalkulatora. Wystarczy przypomnieć sobie kilka zasad, które pozwalają rozpisać silnię i uprościć wyrażenie z przykładu. Czy wiesz, jak rozwiązać to zadanie bez wyliczania "na piechotę" poszczególnych składowych tego dzielenia?
Rozwiązanie zagadki. To prostsze niż myślisz
Na początek musimy zauważyć, że:
11! = 11×10!
10! = 10×9!
To pierwszy i na dobrą sprawę najważniejszy krok w drodze do prawidłowego rozwiązania tego przykładu. Teraz wstawmy rozpisane 11! w miejsce pierwotnego zapisu:
(11 × 10! - 10!) /9!
W tym miejscu najwygodniej będzie wyciągnąć 10! przed nawias. Otrzymamy wtedy:
(10!(11-1))/9!
Działanie przybiera coraz "przyjaźniejsze" kształty. Po wyliczeniu nawiasu zapis wygląda następująco:
(10! × 10)/9!
Jesteśmy coraz bliżej. Teraz znowu możemy rozpisać największą silnię - 10!. Po przekształceniach otrzymujemy:
(10 × 9! × 10)/9!
Tym razem nie ogranicza nas już żadne odejmowanie i bez skrupułów możemy skreślić dwie ostatnie silnie, które jeszcze figurują w naszym równaniu. Po tym zabiegu otrzymujemy jedno z najprostszych działań na świecie:
10 × 10 = 100
Wynik naszej zagadki z wykrzyknikiem to równe 100.
Gdzie wykorzystuje się silnię?
Silnia, oznaczana symbolem n!, znajduje szerokie zastosowanie w matematyce - szczególnie w kombinatoryce, teorii prawdopodobieństwa i analizie. Jest używana do obliczania liczby możliwych permutacji, czyli różnych sposobów ułożenia elementów w zbiorze. Na przykład, silnia pozwala obliczyć, ile jest możliwych sposobów ustawienia n osób w kolejce.
W teorii prawdopodobieństwa silnia jest wykorzystywana do obliczania prawdopodobieństw w zadaniach dotyczących permutacji i kombinacji, takich jak układanie kart czy tworzenie szyfrów. Ponadto silnia pojawia się w rozwinięciu funkcji wykładniczej oraz we wzorach związanych z szeregiem Taylora.
Źródło: hub.pl.
