Zadanie na poziomie liceum. Uczniowie rozwiązują, a dorośli mają problem

Dzisiejsze zadanie należy do tych, które albo rozwiązujesz szybko, albo spędzasz nad nim godzinę i wcale nie zbliżasz się do rozwiązania.

Przykład jest prosty i czysto matematyczny:

(3!)! = ?

Jaki wynik da to działanie? W praktyce potrzebna jest tylko właściwa kolejność wykonywania działań i znajomość zasad obliczania silni. Silnia liczby "n" to iloczyn wszystkich liczb naturalnych mniejszych od naszego "n" wymnażanych po kolei aż dojdziemy do naszej cyfry (lub liczby, choć tam wyniki robią się już bardzo duże). Nie odbiegając daleko od naszego zadania, przypomnijmy, jak działa silnia na przykładzie cyfry 3.

3! = 1 × 2 × 3 = 6

Oczywiście na początku zawsze wyliczamy to, co ujęto w nawiasie. W naszym przykładzie nie ma miejsca na pomyłkę. Jak widać, do pełnego rozwiązania pozostało nam tylko obliczenie silni dla 6 - tu zobaczymy już, jak szybko potrafią rosnąć wyniki wyliczeń dla coraz większych wartości.

6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720

I to tyle - zadanie rozwiązane. Teraz z pewnością wszystko wydaje się proste, jednak czasem, gdy zabraknie nam choćby małego wycinka wiedzy, nie będziemy w stanie "obejść" przeszkody w inny sposób. Zwykle dotyczy to podstaw danej dziedziny, dlatego tak duży nacisk kładzie się właśnie na ich opanowanie. Ma to zapewnić swego rodzaju szkielet konstrukcji, czy fundamenty, do których można potem dokładać kolejne cegiełki.

Silnia liczby naturalnej "n" jest to iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż "n". Jak nietrudno się domyślić, im większe liczby, tym większe wyniki, jednak wielu z nas nie docenia możliwości tego niepozornego działania matematycznego. Gdyby w naszym przykładzie pojawiło się "7!", to wynik wyniósłby 5040. Przy "8!" otrzymamy już 40 320. 

Ciekawie robi się, gdy dojdziemy do silni z 12, szczególnie gdy liczymy ją na starym, 32-bitowym komputerze. Jej wynik jest największą wartością w systemie dziesiętnym, którą można zapisać w systemie binarnym (zero-jedynkowym). W architekturze opartej na 32 bitach największą możliwą do "zmieszczenia" liczbą ze znakiem (w tym wypadku dodatnim) jest 2 147 483 647. Z tego powodu w niektórych starych grach, licznik różnych statystyk (np. pieniędzy czy punktów życia) nie dopuszczał wyższych wartości.

12! = 479 001 600
13! = 6 227 020 800

Dla komputerów w architekturze 64 bitów wartość ta wynosi aż 9 223 372 036 854 775 807 (dziewięć trylionów 223 biliardy 372 biliony...), jednak kiedy wykorzystamy ją do zapisania silni, maksymalna liczba, na której możemy działać to zaledwie 20. Komputery mogą oczywiście operować na większych wartościach, jednak wymaga to wykorzystania dodatkowych algorytmów.

Wykrzyknikowa (!) notacja pojawiła się stosunkowo niedawno - w 1808 roku za sprawą francuskiego matematyka Christiana Krampa. Z silni korzystano jednak o wiele wcześniej, oparte na niej wyliczenia pojawiają się już w pismach hinduskich sprzed naszej ery. W ten sposób wyliczano np. liczbę możliwych kombinacji, w jakich czteroręki bóg może ułożyć cztery różne przedmioty (podejmowano się też rachunków dla 10 rąk).

O ile na co dzień nie zajmujemy się takimi lub nieco bardziej pragmatycznymi zastosowaniami analizy matematycznej, kombinatoryki czy rachunku prawdopodobieństwa, to spotkania z silnią nie należą i nie będą należały do najczęstszych. Mimo to warto czasem poświęcić kilka minut i odświeżyć mały wycinek szkolnej wiedzy. Możesz również skorzystać i innych naszych zagadek matematycznych.

Źródło: theedge.com.hk; springer.com, hub.pl